一、分而治之

      分而治之（divide and conquer，DnC）是一种解决问题的思路，它的核心就是利用递归函数，不断把一个问题变成越来越小的问题，直到出现解决条件为止的解题思路。

 

二、分而治之解题实例

1、问题：假如你是一个农场主，你有一块1680×680的土地，现要求你将土地划分成均匀的方块，且方块的面积尽可能大，现求出最大的方块边长。

      分而治之：分而治之解决问题的过程包括两个步骤：①找到最简单的情况（基础条件）；②不断缩小问题的规模。

      分析：由于原土地是一个矩形，所以最简单的情况是，该矩形能够分成两个以短边为边长的方形。但明显目前的矩形不符合这个条件。于是我们可以分出两个边长640的方形和一个640×400的矩形土地，这时我们就找到了缩小问题规模的方法了：每次都以短边为边长划分方形，剩下的矩形也用同样的方法划分，直到出现一个矩形它的长为宽的两倍为止。

      欧几里得算法：

 

2、求出列表[2, 4, 6, 8, 10]的和，不能用for循环，不能用sum函数，算法能应用在任何一个数列。

      第一步，找出最简单情况：最简单情况就是列表只有1个数，这样列表的和就等于这个数；

      第二步，找出缩小问题规模的方法（递归函数）：编写一个递归函数，每次都把列表的第一个数与剩下的其他数相加。

代码示例：

 

三、快速排序

      快速排序是一种利用的DnC思路实现的排序方法，它的计算速度比选择排序快很多。

      第一步，找出基础条件：当列表中只有1个数的时候；第二步，编写能够缩小问题规模的递归函数：每次都选择列表的第一个元素作为参考值，然后把小于参考值的数放在参考值左边的子列表，大于参考值的数放在参考值右边的子列表里，然后周而复始地对子列表运行快速排序。

代码示例：

 注意，这里有一个陷阱，就是 if len(alist) < 2 这条if语句不能写成 if len(alist) == 1 ，因为如果pivot是列表中最大或者最小的数，greater或者less就是一个空列表。

 

四、快速排序的速度

      每一层调用栈，记操作数为1，快速排序的调用栈的高度（操作数）最糟糕的情况是n，最好的情况是log₂n。

      而每一层调用栈中，要操作的元素每一层都会少一个，所以n层的平均时间是n/2。

      所以快速排序最糟糕的情况是O(n)×O(n/2)=O(n²)，常数部分对结果影响不大，舍去；最佳情况是O(log₂n)×O(n/2)=O(n·log₂n)，同样舍去常数部分。但这里，最佳情况就是平均情况，所以快速排序的平均运行时间是O(n·logn)。

图例解释：

1、调用栈最糟糕情况：

2、调用栈最佳情况：

 

3、每一层调用栈操作数：（由于最后的常数部分都会舍去，所以这里每一层的操作数可简单认为都是n）

 

 具体参考：《算法图解》第四章-快速排序

 

——————本篇完！